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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 U.~qX \yJb  
2KzzPv.  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. yStm<s(  
|/?%)ZSR)  
　　1、三角函数本质： 2 9rDHA  
Nh qBsd[  
　　三角函数的本质来源于定义 _W6V:iKs  
#oF8>r"  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ldy L@  
FX8 j<r  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +`&|\}[$pi  
w 6V+I?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Gc<vyIZ#  
! *|5:\v  
　　推导： zfaR*:Q  
u`_2 t]  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 sPzedU  
Fk6l{%$<  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) d'K1 y  
Zolg7>[  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)  V*]TAe  
@O=a^^^(-  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 a7xR\U@k~Q  
3 >Ya7'1  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 8~{,)jl_k  
;88V\_V)z  
　　[1] H 0Tiqs-;  
{ ~~<Oba  
　　两角和公式 PFBkY  
,&,<yq{7h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB #F.l z  
;4;M{JN  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  R>lL[&vJN7  
$ao' tje  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB r}Pz/R`!)  
Vv<Bdqc  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB YZ1`>d8@  
;ZXe= .y  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Ke=!.G  
LU` 9 u+}  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) YXyf[Y#)  
_{(\nk81  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  .Um D|p  
J!/XMkeO  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) zjbB$v]i  
k~hY%k$%U  
倍角公式 40#6z5o<  
JACVx^Rq  
　　Sin2A=2SinA•CosA H}Hh7#,V  
C0OsfiA  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 X}l/r`?YG  
~Rr.|iAh7  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ))DMB rlA  
u\<Xy  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） RqO{!U\M  
./D\v']  
三倍角公式 WYXE|P  
yM8<aN v@  
　　 xK'wbG{  
qgM$5O  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) b1R$Z1eal:  
OgHq$-$.-  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) g?XkWFa  
!vJ0:QTC/X  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) i@$" up^D  
VuG>~v~  
三倍角公式推导 4 n., f  
q4zhL5a1  
　　sin3a T?*);rx  
eY-0]n9  
　　=sin(2a+a) ,D PTs  
&aME?e7X  
　　=sin2acosa+cos2asina Y+(C(^{ne  
Y}mD{8fB  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ajtO-9S  
: _qigxr_  
　　=3sina-4sin³a rmSYN>K<8  
x4/X[Cy >  
　　cos3a syHx[oH]  
E6g)B,}6  
　　=cos(2a+a) bf2o`sU  
ChI"H/'?  
　　=cos2acosa-sin2asina 4 .q*B6  
9 "i$1~:  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa O 0#j0x8  
| R}>uC  
　　=4cos³a-3cosa w+P2Z4,@p-  
}2l ou:<  
　　sin3a=3sina-4sin³a *Gs4>g'  
Z` Soqu>p  
　　=4sina(3/4-sin²a) M4H`8}J c  
{WJr8K?`%;  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] dr'IHU(b]>  
FHbqA#pf  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) >2KFm4:R  
o|gN.  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) D+ AW>b  
vuB:|^^  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] V`.x/g  
DKs [   
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Q[ [qB(M8o  
yv;<e^d`;  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 6t1-  
+ "RCW2  
　　=4cosa(cos²a-3/4) !@Do^{X}  
xRJF*3  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Fvc:%  
93_e(Ugh)  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  8jb w]OE  
= K+3LX  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) '0R\;?e(  
v0<=:ID&F  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vy H?"Y  
}<{/"%Q'd  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Bu;=[ZxX  
4iEe2l`0g  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] L {VgvL  
Y+yPr  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] |^]2BQe`X  
kbV&0g}Qa  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)  S5&Jgj  
ec%2<Rts  
　　上述两式相比可得 Dov$XMY  
iJNRsS1  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) XO95  
@F+$)@  
半角公式 l:g^8\ bZ  
9E6=Z[HJB  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); :ad;A[s{;  
;*bB^xN4"r  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 0kcKp(8  
/HNj4yGOI  
和差化积 m!c}-]z1  
ybd-y/)(  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $8,|=8A]O  
e'}CK(Ry\  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ej+/OGpk  
N"<5gGYR  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] SI"Nf  
u <>y+ Y  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] EbrNCr3Q  
AxcO}eQ`q  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) [EjIW+'  
3>\g  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5 xO#X=2Z  
x^(qq  
积化和差 CFEqFj}nF  
}jx6o>}  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ~=f!RM9]^  
$7H 2e,  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 394_  
#NbZ&n  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Kw |!CP  
\W>eZ%,_  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] yz.4 ':e  
( ^^3[x  
诱导公式 &r!E`x&R  
"z^O`t8bCK  
　　sin(-α) = -sinα gp zjK%H)  
|7H6&lgKq  
　　cos(-α) = cosα <VUN{ at  
$i(V7W772  
　　sin(π/2-α) = cosα #"p_ ppN  
[]6=)y^:{  
　　cos(π/2-α) = sinα #x]X FT@^  
nh4WJa93'  
　　sin(π/2+α) = cosα cJ[ 3/z3  
,C+_al.a  
　　cos(π/2+α) = -sinα ?M_er)Qq=Z  
JA%+|D ]y  
　　sin(π-α) = sinα )qGPRKn  
#J; IDTIE:  
　　cos(π-α) = -cosα fQ -jg3 }  
FT1sKIi  
　　sin(π+α) = -sinα `S C'~VT  
iG<,=i-W  
　　cos(π+α) = -cosα +Yav^q#tU  
nN` r"  
　　tanA= sinA/cosA AIR[uqOP  
sxp1\kuq  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα mzs2I&zY  
dql1n5L  
　　tan（π/2－α）＝cotα @G: 7DA^  
P9 IVAlQ_x  
　　tan（π－α）＝－tanα [\~HV\Xb  
cB4H?5/J  
　　tan（π＋α）＝tanα cxVMUI\n  
Aa^n+O(3  
万能公式 l ;\j&Rj'  
IaUvg|G  
　　 $/ZzI*wq  
W;x9%k-Yn6  
其它公式 AkKb?H\#  
}&E$h@Zi  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 v pXOaijt  
5W"qJ|}  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H?dg/BOh  
rQ?;J.D  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [-xkE,3q  
wwF^ GA  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  0EC$8{  
+u<Q HF1F  
　　对于任意非直角三角形,总有 t(L/ @+w'  
Q8.u~RiO  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _=`yP^;o  
Aoy9j.~ (E  
　　证: y<RSvlse  
+j=.>?><?(  
　　A+B=π-C !2.l8mh9  
+m+]ecl(  
　　tan(A+B)=tan(π-C) R`JCXDoQ  
. =qknB  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) n8( hjt0  
d%M~@[*p  
　　整理可得 a]D&,]S  
.+oX2|%g1'  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6w?DR  
!VNI,@kMr  
　　得证 L 'hdLJ  
NHFyd<O  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 DJkv}1Ky  
0RQ_EoHmj  
其他非重点三角函数 j.=q}2(ym  
fL5AIY$  
　　csc(a) = 1/sin(a) 1pM6Yv  
e:'$XC|  
　　sec(a) = 1/cos(a) a#[gnrgU}o  
Lp" hoF 6?  
　　 5g'Yhq'  
+tL8C3Y  
双曲函数 2(-x.x~B  
/,yEL%]de  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ]D&quaEV  
Ow0,5mcs  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0@3Zn  
lG(0!+&  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) vy{5&u  
dG`(%M@b:  
　　公式一： CjW1i  
tAcljfr.s  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： qX>J"N Z  
Ha 2~R?  
　　sin（2kπ＋α）= sinα oz*Z5R+G`  
8`[ \_5y  
　　cos（2kπ＋α）= cosα |,vwvhV  
p%JhgMvZU  
　　tan（kπ＋α）= tanα :%l,Gk_8n  
/ Z^A!vV1  
　　cot（kπ＋α）= cotα Qd AM;  
Fbvhh~|X  
　　公式二： v+-k'V  
'@/CvrRM  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： T N4Pb@  
fM;5(24  
　　sin（π＋α）= -sinα bJE<6}Q(a  
=%ZrW^.  
　　cos（π＋α）= -cosα Yt,K]w/c  
QIT`t`4s3  
　　tan（π＋α）= tanα lg+],/y&}  
CJ_JxnP  
　　cot（π＋α）= cotα 0: _!2#R  
Yb-R }(  
　　公式三： ,Ab.F"I  
|0g_3`I\P  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： E*ucx6D"zM  
)]()8=D4  
　　sin（-α）= -sinα `FZz1,=W<  
gFS('LKQ  
　　cos（-α）= cosα T7+:n@  
o g5O#B-  
　　tan（-α）= -tanα /ijP}u8]Y  
Y6NtK^ W  
　　cot（-α）= -cotα 3 OrE^P/  
#0\q){Z  
　　公式四： ^lOl `$oj  
^+-S7)9d  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ZG(_!xyEW  
5Tg+uAe  
　　sin（π-α）= sinα gz Hk@t]  
Gh #Qywz  
　　cos（π-α）= -cosα  n/p_3  
RL|Z<*h/  
　　tan（π-α）= -tanα 5l=wF#h_R  
rif9;PR  
　　cot（π-α）= -cotα s*@)V4!.  
3N!Z2UT  
　　公式五： -0/.KU-  
v3-9@~   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： =$Exw&6S  
cFX;`He1g-  
　　sin（2π-α）= -sinα J`q"&  
!GX^ ^Ar  
　　cos（2π-α）= cosα $3,/HR6+  
%z@J&3t^  
　　tan（2π-α）= -tanα SUKxq.0aK  
1X-r  
　　cot（2π-α）= -cotα j2T2Ms*  
VUn;]?iJ  
　　公式六： L@@Y-S5%%  
L,OFgEpy  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 4t# O#7]N  
K\C+BJ]}}  
　　sin（π/2+α）= cosα {?uDMxJ  
 o%R34}N  
　　cos（π/2+α）= -sinα &wq v#AnE  
M\*i  
　　tan（π/2+α）= -cotα _2k>zO>p  
iy r %2  
　　cot（π/2+α）= -tanα ZUmO$Hf  
p7`)svyEu  
　　sin（π/2-α）= cosα k=}R5Uu0W  
uJMbpLO  
　　cos（π/2-α）= sinα $9 xC"S  
w#:U#@XK  
　　tan（π/2-α）= cotα -*}=@vz  
b \)tk3  
　　cot（π/2-α）= tanα n!s"9,4i-c  
37sa!FF3&  
　　sin（3π/2+α）= -cosα "q{xoW9  
ir!(& u5  
　　cos（3π/2+α）= sinα {a+poQf><  
&7s)|  
　　tan（3π/2+α）= -cotα v|5 P OY  
F~kdYqR-O  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 4`|z K3W  
H`\I3ag  
　　sin（3π/2-α）= -cosα -q! 0[`Q(  
lz>=\| i  
　　cos（3π/2-α）= -sinα vqgo. Y1  
WDOZ#  
　　tan（3π/2-α）= cotα 9}7`FGJg  
QSpQ6|<  
　　cot（3π/2-α）= tanα >LJB#V j=  
=ck 8Vv%  
　　(以上k∈Z) o jdRS}G^[  
s(F/N|Vdg5  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 IEap4n  
ETNk6#]B=  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]ea<wVNH  
Vy+I>c2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Cnf 3R!25  
]sCPr;9WS  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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