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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 EtH7B&zK`  
*l&dc  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. IA3}@  
gPVFmKo  
　　1、三角函数本质： 5ZM;?p)p5  
44:K(0zu  
　　三角函数的本质来源于定义 a#)Wa+/.?  
v~; w[{  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 BJm.'X9`ks  
g?5aC h  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 g:GwQ[y;  
4a5"zT:  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： iW9Y g  
{lxOclGo8t  
　　推导： #$F1"F(8%4  
"*_j W=]  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 (Wn e@_R=  
7+09| +`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @(e4SD\5  
,"Xfxs 5a  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) rlXHM|(<  
+DW{GbN_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 R?a_B8  
UKE+TU(n*  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） *XK,Ve ;  
kY0z,FG.  
　　[1] dU0dL:_Fx  
=?mA5VT  
　　两角和公式 Ft)t_zB1  
^boh+G=C  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB D8TC&[ $]z  
[L" 9$Gd+  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  *iGDxu  
Wob`88%3  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB fRJ_V('F  
I$HQP"P|c  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB = M4+  
0E)$0z6FC  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) s\Si6  
N}PKg]y3U  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) DnF?iOpU l  
vOg ;-6  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  . A}tU  
Xp~)EiX }  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ++rk|Cx  
.L}]Ir  
倍角公式 qTYg!e  
U 'WR^H t  
　　Sin2A=2SinA•CosA |YU4{KF  
H<aF'q5&G  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 AuGZ+x!  
P(GvB!zz  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） + ^j)s  
qXA^=(p  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） W80}ji^+S*  
[U. AaTu  
三倍角公式 )GBd:_!x  
-0 "$#]v3  
　　 %F` AA:G  
k1 S"`sM;  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) J5GI,[q%]  
*+T\O_(`j  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) =_ :') .Z  
ErFn \d<%0  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) d1\V<'7oP  
{V_1g"E[  
三倍角公式推导 9m/^$],9;  
!i;jWn~W  
　　sin3a ,I9^C2Rc  
iz=kl&h_  
　　=sin(2a+a) mRA+R>P/  
^L'8qj|h  
　　=sin2acosa+cos2asina 6Av+`-Y  
Yd :^N  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina &n@_&&T  
(J;+JJ+o  
　　=3sina-4sin³a WW#9 V&\$R  
rF.$Xr?}+  
　　cos3a UK/?t3H"  
z52E|zv  
　　=cos(2a+a) e0=yQV  
+tjQYe=  
　　=cos2acosa-sin2asina g1'C=&  
_J#'k  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa qm f0Yo?  
>jHI>au  
　　=4cos³a-3cosa o%PG?`GO  
Gal6< faxA  
　　sin3a=3sina-4sin³a [ri|pBv  
E_dR6|e9  
　　=4sina(3/4-sin²a) Sp-]7#ek)6  
H2baMSyn=X  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] &y`,kW  
q=t:HZuQis  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) +%|EdlA  
{,#Ab&}  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) fwIWAp  
e%Mz E  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] *"#AYv#W  
;H__/-O}+Z  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 5wmpW{C  
;T(G ~cT  
　　cos3a=4cos³a-3cosa lX 3eA1  
jam;>P=0  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ~EI<dF&]  
eG*@+@Ui&  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 96P'I!2  
J64hct5/  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) It|bx^  
K= Ik9S'  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) N-!$"NK  
Zd9o%zR3  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} & AxOXb  
? Uq! *7x  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =[3\a{k  
Ph]g&>SVm  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] \B41.^+ e  
bI'1*  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 06N(Ht*W  
g^N_,b=bH  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) IahF:D_u  
wu \ 5  
　　上述两式相比可得 opg`"O=+0  
"@On9MQ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) FV}D1Zr[  
v2f\T xc  
半角公式 oOJ #Az  
Ke })9  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ?mvE\ 8;  
r:]w'Ts  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Av[y5Q#P5  
W<w" XL9B  
和差化积 U l{&s ?  
xns_~l mp$  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &GA M\N;6  
.`#HK&:NG  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \}0A*d4 i  
B2C),\HZ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Dc46C  
9/?hN<<@(  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =%<FO,O  
U }j6b%  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) (S5J>?w  
~>t#$BA,:  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w EdET0  
}U(7XF cL  
积化和差 =/"+_oTD  
4ZE" CFxF  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] nd22D<^Q  
24'Yd/!)WE  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] _e.9tC  
O)!m{+Jje  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] .3p2!2  
F`EF SsU{  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] m&-O5"g   
t ` /4UPY  
诱导公式  Kjxs 8FJ  
vE3luF  
　　sin(-α) = -sinα $U.oS/ 5  
Vv3L9=]9  
　　cos(-α) = cosα 2LTwTX{  
}Nr5Ob;!  
　　sin(π/2-α) = cosα i72?$EBdf  
u|x W  
　　cos(π/2-α) = sinα /)b!Yb/  
o*Nit otGz  
　　sin(π/2+α) = cosα .As?4qs"  
VJ5KfA9  
　　cos(π/2+α) = -sinα >6`>/  
3:/1XLhY  
　　sin(π-α) = sinα x%F F!myY[  
O=`I1Ht{<  
　　cos(π-α) = -cosα  a55d  
r|Dl. 6d2d  
　　sin(π+α) = -sinα \n[)926l  
'/dIr/&  
　　cos(π+α) = -cosα J:fG-?:;6  
9A 3+be  
　　tanA= sinA/cosA B;f)'@U  
5\c3|7/WP  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα  n{q iE  
a=q7#Sb  
　　tan（π/2－α）＝cotα F0H yk  
GPR{oPR  
　　tan（π－α）＝－tanα }Q1K u&  
<)_af:k9  
　　tan（π＋α）＝tanα Wd@v nf  
R*KFz:  
万能公式 'uSlT:PkM  
;@1LH F  
　　 9r+F@7I(0  
W/oq&a>L  
其它公式 `FZ![^xIbk  
At[=`~  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 AOy&*y  
t8D)Jt=q  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 hu(g,G=>*  
+%E6)mkd  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 HP=:D0oaEw  
KlOt B) 8  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 'c1yx&H   
&djVee%a[  
　　对于任意非直角三角形,总有 4[nHptx~+  
fr9K[h6<ep  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tjvelv;0F  
VM0>2B  
　　证: m@[4Pyh9j  
N;@ Zb*Y  
　　A+B=π-C BZ/1-=;h|  
vu Z* c'k  
　　tan(A+B)=tan(π-C) !W#P^V9g  
kpP A%^b%  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) VG Uz/  
Ee YK9f  
　　整理可得 9B[5!O]1  
aYS]lIQN  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _EQ?71u  
"i.#cF  
　　得证 X}%1vj;\l  
Xayi?!";  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 tX U`-l7  
$Yd~ "U:C  
其他非重点三角函数 WrQX|  
cn=vpRLB  
　　csc(a) = 1/sin(a) JyurvIf  
Ed3QZ  
　　sec(a) = 1/cos(a) pcha>5(  
+HF#+u$d  
　　 9ZGIg[y  
/lZ?o>   
双曲函数 /5"c>Q=\Y  
JIul  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 w{ ZUd9'  
AyRUj@&w"  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 c/|jzY_j  
HC\Y@28  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) P:7%$jc,  
FAuLbgY  
　　公式一： &( RS]OM!  
r8"pga0  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： wBG:mh  
o`S"R)P -  
　　sin（2kπ＋α）= sinα e}VPPFMo  
o"(Fe  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 8M:0* Ju  
*TF}60n\l  
　　tan（kπ＋α）= tanα t8 C F]kP  
#SC!M[(  
　　cot（kπ＋α）= cotα 5RNDL  
Yw^S+,lb:  
　　公式二： _G$_e7w/  
Hs2+!9;g\  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： z0%Ath|  
(?:S]R  
　　sin（π＋α）= -sinα |M*",p  
xvPjN%9d  
　　cos（π＋α）= -cosα e <<_/=  
]_Kd9%"Q  
　　tan（π＋α）= tanα A\^+o+)r  
q$ "H]XM#  
　　cot（π＋α）= cotα 1wA7X$MiAm  
kp%p~Ve  
　　公式三： b8k}}:vp?  
j'Tu(+b09  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 5e*n?{p"J  
0q'1UoG5  
　　sin（-α）= -sinα ]'D7{Z7  
DH'~&R  
　　cos（-α）= cosα ]< =0|  
QoWIaiCr2  
　　tan（-α）= -tanα |"\`9Nw$CV  
 _dG\<j  
　　cot（-α）= -cotα mb'~ A=  
 8X0mL  
　　公式四： g7;u 4d  
3'JspCnG  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： mv,t aO-  
?nLb{% )  
　　sin（π-α）= sinα `mLU*gH:   
:tJ])vx  
　　cos（π-α）= -cosα 0 7,{8vR  
~6%#r  
　　tan（π-α）= -tanα *L*z.G9w  
.`taT  
　　cot（π-α）= -cotα Q//'55l5  
F/n}wB*18B  
　　公式五： ;umHGzh.W  
K* uR$ xr  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： =yc'rpO  
,j2kv})\  
　　sin（2π-α）= -sinα m"#T1~hU  
W`LsN=  
　　cos（2π-α）= cosα /B~qmBny  
{l'qkL2>'  
　　tan（2π-α）= -tanα \;XE, 9q  
0C|OlRvz5  
　　cot（2π-α）= -cotα \`b'8;o)%  
&tm0:#db  
　　公式六： 3MO`)8ES  
N9\(p  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： >qV. i^Nn  
tz,9M:  
　　sin（π/2+α）= cosα >w^~!,K   
lKpSvN LbE  
　　cos（π/2+α）= -sinα ^Y^`C,_Sz  
e],Ht +C,  
　　tan（π/2+α）= -cotα s|J`\:9  
Q O5b=wG  
　　cot（π/2+α）= -tanα | cxN*]O  
;y.3%PZE>8  
　　sin（π/2-α）= cosα dttOB#C(m  
5??wiF)  
　　cos（π/2-α）= sinα vbf[d(wf)  
L&[P89hY  
　　tan（π/2-α）= cotα |8 P" ^9  
TY^"55!CKH  
　　cot（π/2-α）= tanα &Lk Fv])o  
nT F:r`  
　　sin（3π/2+α）= -cosα [.(790]6m  
s8o&ydE  
　　cos（3π/2+α）= sinα ,*`1v@9  
&h r&DD  
　　tan（3π/2+α）= -cotα R;SLKuSG  
qiQ ,jH  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Z@PU*!S  
]CYx(1  
　　sin（3π/2-α）= -cosα "XH5=!{:  
ul^CkZC  
　　cos（3π/2-α）= -sinα %>ZuU[  
{Zg\S0  
　　tan（3π/2-α）= cotα CBiuT2gQ  
w5gy1M *)  
　　cot（3π/2-α）= tanα G M3JHs =7  
3ru*iP}  
　　(以上k∈Z) VX^P])  
H!GC8m +T  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 FK"CDfv  
_!5iGGyW{  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /PH[@rhG  
{_nQ?a  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } .\uH;|qz2  
1\VJt G_  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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