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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 D\FI p2  
SUFUoP  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. CLzit$@9  
Yhc^zbCZ-  
　　1、三角函数本质： fp-b [3  
`UwVM.IH  
　　三角函数的本质来源于定义 T_om?t=  
1[y$ii  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 k}a6LZdJ  
Cbjuf-0  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 wVB5nOaz  
c3&,L2e  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 4P?lA  
dyZ*E#{{  
　　推导： b[BUVz  
`xq#bBer  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Da*syr\  
? R^ oQ5  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) *VtBw<9  
) ()U9p  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) T-D]ihF  
>2. dBZ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 P c1IFg  
GH|Y["Wb  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 9 naSnYW9  
@w;Xs_<Uz  
　　[1] E^*I>jM@  
Gm]pM e L  
　　两角和公式 i$*-;I\(  
% IF<A]nr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB u0[=jZ7  
a iI5.H-c  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  `UDLd%H%  
XT9MJlis:  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB teo2EITX9  
vCO]`PZ  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB - pU;9V=Dv  
5P"&3br  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 3O'* =D+  
o+w4JzYpV  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) N|uG:9C3&  
5+nw g"  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  MlE  
.v{r&>vC[  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) SJuCt%"a  
iq~j  
倍角公式 KN0d\@/Uw  
Xjxh+('  
　　Sin2A=2SinA•CosA oE<ZZH^^=  
:(t =h  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ],{<i  
W3@7J  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） n>7@h0CKf  
J4e?|s5z  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 6EST""$It  
|C?Ed pR>  
三倍角公式 pJ(6c6N=  
'h00>w=c  
　　 :0G^,C}|  
h[ACu);>  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }z H ;%O1  
cI+-!^ "  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) *;$TtB  
ka-9 {H*  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) AyGFTQ0K R  
"d}v)IW,H  
三倍角公式推导 Hq/rD_2A  
pk)jLu ]  
　　sin3a /7 Bl3q  
?0"xxZ7  
　　=sin(2a+a) f)weJ y  
S'afdRN]D^  
　　=sin2acosa+cos2asina fdbm{Ye>  
l/V=M 6?  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina \Uoy 2/  
ENIkwY.h  
　　=3sina-4sin³a *+%J~ 6   
<sBWcE%  
　　cos3a p<(8thR  
=Gaj0r/tm  
　　=cos(2a+a) " osOR(#  
A`Ir3@7  
　　=cos2acosa-sin2asina 2ci8\ _PJ  
:u6{quNYLD  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa (g'%v1s  
5a&Mo!4j  
　　=4cos³a-3cosa A]= )AFx  
vNd`5fe  
　　sin3a=3sina-4sin³a 8p)g#y(  
FFA$5T4'  
　　=4sina(3/4-sin²a) A[& I+?  
~olB*e2I  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] px)l8"ed  
v  uT\:(  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) N(,|+b@cs  
X[rS|Ss  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) i)9+zo#_A  
Kp"k#UhiU  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^{X ZV,{  
fy2xxHCn  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) %tv"q4uj  
8 ,h O`'r`  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 3 <_(xO  
gcNLml!  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 1/w _!75"G  
Bp<3)>?  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 1 wF`k[m/  
? Z0a o_m  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) I!/b2[c  
<;! 1Mnd  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) &}%w5k~K  
p$ UN 0w  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} b> zb x  
Bu%Ju  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) wc CQq-E  
N`X24(H'c  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] n.l<BGb8 h  
:cJs{?Z)  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] h+k:)  
f>A_-+D~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) PpHuvsR[  
GX\ME|8X  
　　上述两式相比可得 A,!4J  
<.Z_ 5;|&  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ?^9FB_<5  
|(V-QKuq@  
半角公式 kV%v:dYM  
gMuMLR   
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); wkS!=A  
5}V+Yld-  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. lB$k 4O  
n5Pp q  
和差化积 0l}"F#{"Xj  
5[q7N7)  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] j*!$uEEU  
.'~_iIpu  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6SJwS?iP  
WE 0b"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] MDaE *  
l,/0)!}\  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ws'$ofW}  
|$@ yTKXd  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) -0Eb*%|I-  
f[nfdmQn  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Y]|"~  
{"Lm^L2Dc  
积化和差 "Ho=9~X  
8*2*1yS;Oj  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] GeD|vR]  
6uD\GR  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] x4*d<C0s[  
C7 ^;2n$  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] z \yy!M$.l  
sK gSz:  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] jRcJ*L/5T  
e[^Hl%=  
诱导公式 V9hq@y  
msu#-\F  
　　sin(-α) = -sinα N!,d;$3  
YXZ-8Ul  
　　cos(-α) = cosα 6NYFAKRVDq  
(Tw3s$Q"  
　　sin(π/2-α) = cosα %S;5)@E  
fL\jr  
　　cos(π/2-α) = sinα =B ~E6  
=<8(5 5%K  
　　sin(π/2+α) = cosα 69itYBL  
kVRbW|*  
　　cos(π/2+α) = -sinα +{#ZI:IC|  
OL%M< ZV  
　　sin(π-α) = sinα i(iq4AE  
$}SiVP%B)  
　　cos(π-α) = -cosα #7j58D Q  
4jC@<Lg\  
　　sin(π+α) = -sinα oJ<J\.%  
\CABdvyOY  
　　cos(π+α) = -cosα .NJ9J ojd  
To/pr<  
　　tanA= sinA/cosA ? ivdh?Y  
FP0UI> G  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα !`]TKBp 0  
1W6t*:isT  
　　tan（π/2－α）＝cotα r"]Sulz  
rWA,*T~M  
　　tan（π－α）＝－tanα v/W`A  
2]nQ<8#  
　　tan（π＋α）＝tanα :KS)O;03  
/9 n8dz6r  
万能公式 2UL}Jn{  
QmeOI}B  
　　 =6vJ~lxdy  
hl\l]qa}  
其它公式 /Kyh"  
Id*co, 8=  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 /2uw[)K<  
6n/o5tm_  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 T A#48:X  
p,0]Hc 7*  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 -=ve$kj!i  
"XiDoK.  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 5O sDDt)  
r/. Q_] R  
　　对于任意非直角三角形,总有 { -B~m*_aD  
}lA=pVBD  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ji WWGC0l*  
y| J>_i]  
　　证: 5j;[`@::V  
\b<&v5yF  
　　A+B=π-C VJU:P1$  
ZaoW  
　　tan(A+B)=tan(π-C) V ^9R\Td  
I!r,kSJ\+  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) WN )gw  
<vy^^KM-T  
　　整理可得 i=YtCWo >  
w \Kq]/9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC f&X A:%v/  
P &8|? 2j  
　　得证 /^!QAQmy  
^f66GTi  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 f~_9Z I  
G\IYoZ  
其他非重点三角函数 KVg|-(:^j  
"mQcx  
　　csc(a) = 1/sin(a) L:2(FllC  
8ipa rOe+  
　　sec(a) = 1/cos(a) D5f0e#5^7  
fZz)xmt3u  
　　 Nw_\h  
[zIO(aQV  
双曲函数 p&}'m6P  
I'P%i _  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 `z0T?m/`J  
RG$6JP%s  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Jer+ 4AF  
R(+Z bHZ  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ws[Gg0%!  
)V?WaT(  
　　公式一： Qh!%APo+-  
958?S  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： MYc3tvk6  
Qi-<u-E  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ^~ 7p3?|m  
6]2x~bn]X  
　　cos（2kπ＋α）= cosα LmX)q -BB  
N{OP+ *q\  
　　tan（kπ＋α）= tanα #1"M#*h  
:?/d{<Nq  
　　cot（kπ＋α）= cotα :]dMs |R  
sc!7 M!+  
　　公式二： (pRRG$ay-  
U@;FVz %  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： '?Atc  
vq,6tpt5  
　　sin（π＋α）= -sinα Y D:F4i0n  
zP)6LS  
　　cos（π＋α）= -cosα QEEdjt9c  
F4 IvT*  
　　tan（π＋α）= tanα 3?zIoGbl  
|QE{3Oqg  
　　cot（π＋α）= cotα 2}G)iL 1|  
B[:jNB/G1  
　　公式三： ly.-tivRw  
p7S?CY+dAT  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： #":C~5f9*  
U-~&b#3  
　　sin（-α）= -sinα )Ni/  
2?N)H   
　　cos（-α）= cosα eF wzP"d  
C+II&>]}e  
　　tan（-α）= -tanα /X/mx7{k  
/A"wCh  
　　cot（-α）= -cotα gDfxN"EZT  
3-5@ XKJP  
　　公式四： &HI}19i_  
}hb_H;UOV  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  uM=T  
X `CVZ`  
　　sin（π-α）= sinα +ytB@  
6D4oLn*  
　　cos（π-α）= -cosα uoHT`^u:(  
1|GWM5 ^  
　　tan（π-α）= -tanα 6O1eR:' "  
T/g@8PsuA  
　　cot（π-α）= -cotα 7-Gsg/Z  
oa9lStOwS  
　　公式五： _t,;\/LPhR  
i~+z>&7  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： F@(mONn  
=;0%>HwK\  
　　sin（2π-α）= -sinα M9Sr!Y(zx  
/= `7xI&  
　　cos（2π-α）= cosα -%P-0G  
EN,Dcnsj&  
　　tan（2π-α）= -tanα |V5IV`+6zg  
g}w|U/8a  
　　cot（2π-α）= -cotα Ga{1][uW=  
"*bKfvRH  
　　公式六： 7Y#8tqLc  
b#Ru2Gp$}A  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： jIc}!I  
?[# H"$p*  
　　sin（π/2+α）= cosα [4}jY.  
,](4 b;e7s  
　　cos（π/2+α）= -sinα HNx X3BjTZ  
%'C^]Rx%  
　　tan（π/2+α）= -cotα zw+ *mMw  
&,MfCJ`O$  
　　cot（π/2+α）= -tanα yFIT:G/.  
!4F&;!]9t+  
　　sin（π/2-α）= cosα O\ZpVZQ:m  
tX$+-1+  
　　cos（π/2-α）= sinα H>4{~J0X o  
AvZd;s(~g  
　　tan（π/2-α）= cotα =p 2>Lvs  
VM3!%Oj)  
　　cot（π/2-α）= tanα rg>QbTV![  
CE<H)fY  
　　sin（3π/2+α）= -cosα },~EQ7E Te  
tHMYJJ  
　　cos（3π/2+α）= sinα GGaz}~*5  
QO90J  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ) @l z  
bZ,v61*Z9  
　　cot（3π/2+α）= -tanα D0c29$ r  
N F TCSMy  
　　sin（3π/2-α）= -cosα OjT>|  
dt#e%S]L  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 22tjI,a  
_x"(JU%  
　　tan（3π/2-α）= cotα ::.8@ZY  
Nn! A"PzS  
　　cot（3π/2-α）= tanα }AqF?-Q  
|?KGG8/z  
　　(以上k∈Z) &2|2NH{l  
*^c c[bi  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 8R<dT f"(>  
@lr 'p5H  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = KI t  
> l46c  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Q! V D09P  
vHLw:5 [  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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