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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 GJY;?P@CPL  
MLOIB|, J  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. A#U wmhc  
e8ltY;x  
　　1、三角函数本质： 8rWDZ=a2N  
G7f#B!  
　　三角函数的本质来源于定义 @UqV)rD  
Ry'e}7qV.  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 6.<_{=|e  
lbgmu=ABz  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 *1C6Let  
d?Il/T Y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7NS2q@S2c  
X%mj >wH  
　　推导： NedwQ`;  
jo3AQ[ <O  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 !.h7?L  
FQd^iEKw  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^G.6dyU/$#  
A .#AH8VN  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Mq]k(2ds  
D'xFZe   
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 w*DX;_6&[  
! 6SPY f  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?v^ :*)&5  
A,]7g  
　　[1] gp_0&m8r}  
F6}:H[H<  
　　两角和公式 2vRKk{X  
o<{%/::{  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB YJ fY8 B  
",DuF);_l  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ]s-D>!sD/  
_,zmm5  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 7@<;OC B  
y3xNG  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Ial9q :i  
!SRK d  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) -B9rMc@Ho  
~w|T6&Nn  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) udsc%}7*  
yQAO@&dXU  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Vf}; _U+#  
_ DV_  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) SVL?PK|A^  
KzA2Ex5M  
倍角公式 L$w'@'g  
m2coU   
　　Sin2A=2SinA•CosA Y :]r."!  
G:G0LI~  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 /1hg<  
?4DH @m  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） fJ!w2%0 i  
;]G}u  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） L~ wrU}Y  
V?gghP  
三倍角公式 > %oF l  
Dp:kr3K  
　　 $%H"V$86  
NhL7?V  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) \IAB(`V8_Z  
$anul<n0t:  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) F6 Hnk 0  
}7#c*]fM  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Aw<\fqS  
tK0si)ZA  
三倍角公式推导 5i1 i&3  
t1nw@qp  
　　sin3a /2M03Z,(  
.--'|Vh5  
　　=sin(2a+a) $P@9W=,w  
lcYt{>,6  
　　=sin2acosa+cos2asina $xeO'  
z5MFFZC  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina tVN{=V h {  
,Stm>P{X  
　　=3sina-4sin³a R*G[LnN  
N KYz$sIxh  
　　cos3a =i" 0&/Z  
cf0%ww% e  
　　=cos(2a+a) 8) =lv<_7n  
9zB1Y;5?  
　　=cos2acosa-sin2asina >~#y+}:p{  
 j6iHu  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa DilJEH'  
2LCbNGqA  
　　=4cos³a-3cosa 3q>K%T  
TX{{?UTb  
　　sin3a=3sina-4sin³a PRyX.7]%  
CMPn= eJF  
　　=4sina(3/4-sin²a) tmCHD7n!=  
1Vg:=Zz=  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 8hU :w  
aq Ym+wm  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) OoFj_U S  
6m$F?^z  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) {T -EFp  
BP{-L&c  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] bv)"c6T`  
:7CDM`ADZ  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,E4aa$ n  
gae1H  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 4Z\TW#%W  
nw 5+IRc@  
　　=4cosa(cos²a-3/4)  v@$\3  
B)K})bQr  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] udIm-{X`V  
h3- gzW<&<  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 9H l6pVHZ  
l'sO@2tjHV  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) W--w >,  
C}&!1A [  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Ax`_:QY  
@F&JS 7pDb  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) RC}J<R  
h>W*vXC&:  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ?.hpy}M`[  
F4EdN xOB  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ]-T  p  
COX3^py(  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) FT88AaJA  
iRt<WVQ  
　　上述两式相比可得 X.a@9yi*  
jsK:l D  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 2Jwa vH-  
k;S8 r$g  
半角公式 XL_>AZ  
5qJcp|f  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 3?p}4P:  
YE D\})P  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. dC0l)^X  
.rKUI^DP  
和差化积 u{UnHb  
UfMB#5  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] iT'"k*fe  
Je- >T=  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >{R3_M  
noS_;X0kO  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }X)s Zf~  
\KbO<;zSe  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #0^?XV17  
V~`ER489-O  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) GR}uq#XwV(  
|<3T FT  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) W'JntZ  
|yph'1W  
积化和差 VSnq%3>93  
[1bmT> )b  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] LJ "l}$  
]1\AB U  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] "V wQ  
Zu}_j>}'C  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] QT;W Lh  
$'}#yOU  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] *O0Q.gB s  
 Q|.iymC  
诱导公式 0.G &U7.  
N&oR%C#  
　　sin(-α) = -sinα  d*ol-7\  
0f]|7@C   
　　cos(-α) = cosα SmJXIm*;>  
V qxr'MxK  
　　sin(π/2-α) = cosα ZHl.xI0y  
/P&abFrC  
　　cos(π/2-α) = sinα -Fy9?ax  
"p?@qZ `  
　　sin(π/2+α) = cosα OCW+p ZH~  
>w0kJDz*  
　　cos(π/2+α) = -sinα [E,E[GK  
GM#7X#;  
　　sin(π-α) = sinα JG}X!&'  
C 2WV89i>)  
　　cos(π-α) = -cosα Lcy [aLe  
D/7 ^ =sW  
　　sin(π+α) = -sinα <n': E  
C1[G) Z  
　　cos(π+α) = -cosα (d(\D  
Z2DMiK<@0  
　　tanA= sinA/cosA K6lRWqAg  
^0$;M0J#  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα `S5a?:3  
Ry0& .6c  
　　tan（π/2－α）＝cotα gcJ@|mxW  
RxrfXn%  
　　tan（π－α）＝－tanα EsH7$~_^s  
Zx-g H  
　　tan（π＋α）＝tanα DbnDV|T  
|%')h !jy  
万能公式 -/BqEMs x  
me/OrX 2S3  
　　 \{ J_x  
]POV(`V  
其它公式 sthBO~2/'  
@o !7C_Y  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Xg f5?{SMz  
{>aDk&{  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ]|Wg,4&q%  
ZU'Do c?S  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 M Kzqz V  
Fk97::(  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Y!r.'\1H U  
CBv7vw  
　　对于任意非直角三角形,总有 &Mq*q!gs  
= U.F  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P/MQ2Vq  
*-^GMmP}  
　　证: *"`1fEu  
>Y^gj( =^  
　　A+B=π-C AWivw5<4  
Ya&36/'  
　　tan(A+B)=tan(π-C) @ =>rf  
cMJOQAh%  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)  D^Mod O  
3mx$eNc  
　　整理可得 -{PiS  
_3k=$b)C  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC eFmk7Z\  
x gg  
　　得证 $+Fx`n;=Lk  
/'wVbHKU:  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ~<oGH@f3  
wft :`=l7P  
其他非重点三角函数 %YNQ^idy  
Q@^LGXM&  
　　csc(a) = 1/sin(a) AQ9pFC  
am0XK$`E  
　　sec(a) = 1/cos(a) ,vzP/dy  
a8PKd ?  
　　 }^3Y _^o  
S;DV[@]};  
双曲函数 {n= [=-w  
)+{:?g=  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 L{srtN8%  
JgX#`SMJ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 )_M0IMaU]  
5an4qQ=?E7  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ]lYF !l  
F}AqFfNJ  
　　公式一： u>$eL  
K"/;V -s  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： P]RK3T  
d6&}^<GLH  
　　sin（2kπ＋α）= sinα fZ41IJPi  
kEJe+hWl  
　　cos（2kπ＋α）= cosα bT!Sp@  
,rP?#Kdl  
　　tan（kπ＋α）= tanα k3zB`a:o  
I6jKgt!s  
　　cot（kπ＋α）= cotα Hu!o UIH  
w +%i9To  
　　公式二： ADu12o6"[  
9WEifJ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： xY4|Eb  
{N1<R oq3;  
　　sin（π＋α）= -sinα F%\2%7V  
e<c+2`;=  
　　cos（π＋α）= -cosα \( ~ o<q  
7 /xMi  
　　tan（π＋α）= tanα  D R `n'  
 ),LF  
　　cot（π＋α）= cotα A]w2z]r Y  
BxhV%G{  
　　公式三： > }O)<>rU  
BgBmub  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ]c\t<q^\  
\jktQy|EK  
　　sin（-α）= -sinα 6j}I# 0K  
u'k#]TLN  
　　cos（-α）= cosα b!X"&:h>-  
)<Kp^4  
　　tan（-α）= -tanα !tiR&q  
LZ6$0daFD  
　　cot（-α）= -cotα 0&^W[lqDaz  
ggmW6?   
　　公式四：  Kb#9  
=yJyp`9wU  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： nhR^n  
~qBI #s0  
　　sin（π-α）= sinα foh R%<  
66RV[c7q  
　　cos（π-α）= -cosα D3>9n2R]*  
GR7e5g  
　　tan（π-α）= -tanα `1zLB\(kcP  
aprtZr+1Z  
　　cot（π-α）= -cotα tB5_/>=O@A  
hqZ@Mk.3  
　　公式五： )e<Hz&Q[2  
(3j %"Q  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ^!'Cy?@x  
[Qu)UQ  
　　sin（2π-α）= -sinα Nx-i?!>  
`&#/el.G  
　　cos（2π-α）= cosα li( Gpmk  
k? D|g5}0E  
　　tan（2π-α）= -tanα u n Sp8EK  
 \h &  
　　cot（2π-α）= -cotα 5gemjQh  
u[nJ4QO  
　　公式六： #NhC6]E~C  
nq95u  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： $n(T'$4K  
o(k,|b?}  
　　sin（π/2+α）= cosα O{^}5nc  
M] iEt@  
　　cos（π/2+α）= -sinα zLnB<Zh  
Ogz~":q  
　　tan（π/2+α）= -cotα \Pr YgIPka  
32~il4 @  
　　cot（π/2+α）= -tanα 2 0MDL  
1F {P~BK  
　　sin（π/2-α）= cosα i:Bd>.aR  
?)wc_9  
　　cos（π/2-α）= sinα 'kOS?;4V  
bUf,*N|  
　　tan（π/2-α）= cotα ?M|%F^/V  
7|p$La  
　　cot（π/2-α）= tanα IdDkg+@bT  
4-~Y5`>Eg  
　　sin（3π/2+α）= -cosα bR3^{;  
s.+0m5  
　　cos（3π/2+α）= sinα wdz*^u9  
1WtO:~YJ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα @ sm\%Sr)3  
Wd"@+vNIsX  
　　cot（3π/2+α）= -tanα N`x,X3{[e  
'%9y [\Y  
　　sin（3π/2-α）= -cosα rw7Z.b'c  
ba!RI %:  
　　cos（3π/2-α）= -sinα y Espp  
t Y_xk8  
　　tan（3π/2-α）= cotα ur&EMMp@E  
S< I9>q  
　　cot（3π/2-α）= tanα epxL1 3?  
Hu$FTt]  
　　(以上k∈Z) ByS #Za `r  
*^{/vg"  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 'UaT.$p  
;+Xop(n\a  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = }VLFbGph  
F t4V9I;5  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Cy;+Z24C  
=oRd@l;  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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