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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 #='W8A_t  
:7g/Tw]& x  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.  )FKEQ  
5RM>(Y_o  
　　1、三角函数本质： qJxg(4 ey  
%*VkCjMX  
　　三角函数的本质来源于定义 VZ?+ %\JE  
ye `~q0)}k  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ~ZlV_w=f|  
Y"obv-xqto  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 0rLl<_']  
 N?^Je@  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： D;4P9s-v  
u/%>QHs  
　　推导： JB Rk#SZ  
,_ m9:[  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 cJR$!<}  
 dZ35Y@  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ?$Rg=}9>  
'9aIrD/ F  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) YlD 3/  
j\ioG- >B  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 -.rY||s  
] @?M5d  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） qiR .~F`  
&k~KC=^  
　　[1] N(tUL{   
Z6Z$Y/vk  
　　两角和公式 R,n ^Vv&  
W7r||h7  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB j:V_bnH)C  
l5C8eg&  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  f!:<?7buA  
3r 5x|)q  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ]A=eM)@@g;  
z=[UfO;Ng  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB i4`l L  
`-]qG1 j4  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $r_w m  
d H(KIWJ2f  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `i3kYx  
A'v(}3NI>*  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  SJqWhA`go  
xvDddsK~  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) MCBco3$!  
N3U%  
倍角公式 .hBLsn`o  
QHvej 8L  
　　Sin2A=2SinA•CosA R$NuS,;  
4<NET{hw  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 =OWmVQZ  
#5wply  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） WbXjE@1r  
l/0kv5bY\  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） _@p:R^z`^  
qS"~!:<  
三倍角公式 N>+3iaP27  
/#Gxz C=Ry  
　　 `jNaPd{h  
58fiI>  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) qg#Y A'  
HQU*{  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) V[j {!n<q  
Jc{a &  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) MVVx9RU  
Rr=yl8pG@  
三倍角公式推导 Mc+!/ s  
iq-yHB]  
　　sin3a ZG |NA  
) Q`w>oO  
　　=sin(2a+a) iKKsQ` @<R  
$? (5Ar  
　　=sin2acosa+cos2asina ! B*$V:x  
aI]`;z  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina :>dEAj x  
9P-ljc%  
　　=3sina-4sin³a _dGW@mt_X  
Q6rJsd;H\  
　　cos3a C1V8}?)IPA  
b${U+0)  
　　=cos(2a+a) Up<TV<h[  
"d{Bi!~@Q  
　　=cos2acosa-sin2asina M}<y,9'  
m7Vd  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa DJ.]S<\  
&w<wwE  
　　=4cos³a-3cosa <72BI6ZW  
1 }]2}~Q  
　　sin3a=3sina-4sin³a {5V!b4fc  
VsEG%.6Q  
　　=4sina(3/4-sin²a) ih\eu  
zHp8N@Aw5  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ]p6IK_9g<  
[ ^PwR6`  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) g*C|} }i  
Rff7xDa^  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) A=Q\Al?  
 c}Y;fl  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] W:\H`u4}=  
+d~ ?Ori  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) T VElX7g  
?V9GdnksE  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ^hFv}@M  
+Za Izx  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 1Qi}KE'.  
9^@`##k~  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] "QvZL;&!  
rQv_ir+}  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) P?{LX v  
k;oY'{i9  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )E RY4L\l  
G;g;B"fr  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ^\*%Abe  
=l7 ZJ |4  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) N Ob9MD  
%}:D{]  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] vJm4BD:-  
|F&D2 _b}  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2h45}0U[,  
La gF  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )"Y &@k=  
dv>'^qAqy  
　　上述两式相比可得 KM@D,XU  
qv5-YT%  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) rPR(3 >  
#ENx <+<K  
半角公式 "$ n-/4cfh  
wXy]'Fy  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); <TAgzl0T1}  
_=sM3~t  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. s0m,?+n(  
Yu},"%y4A  
和差化积 F^"_}8EqE  
w>`b `WD  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] HB*rL <\  
^D9\B,  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dr==8*iNs  
nu Ipk*b67  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <9>nq  
s;.mEn-y  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] yS ;oZ  
M4czfjNh  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) aI"@ea] "  
i-,mfTPg1  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) bsm<Ca  
*;7Xg Uc  
积化和差 7jey!J '+  
(?nk ! <m  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] MhAU0P5  
Z VzveJk  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] #siu$8E{  
j_&V 7cQj  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] UMX_|  
4;f<'2a[NH  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] I#O!#:C  
q|FzgIQ,<  
诱导公式 ='h#V+  
?]>FV: F  
　　sin(-α) = -sinα -t|t:?WW^(  
(<v[]O`  
　　cos(-α) = cosα N_Dbo8bz  
TCutm>/M!^  
　　sin(π/2-α) = cosα o6,n\bhC`  
W]rm 78  
　　cos(π/2-α) = sinα F3#6P}.H.  
:x:wAf.  
　　sin(π/2+α) = cosα y6Yf0tp  
cqzEj{F  
　　cos(π/2+α) = -sinα 4pRnBM[  
|V\aGt#)JE  
　　sin(π-α) = sinα  frMA0(3  
b.>H5- n;u  
　　cos(π-α) = -cosα fF2%Dx  
yxNDS6j`  
　　sin(π+α) = -sinα k.|a(~?J9  
u"FZmPPb0{  
　　cos(π+α) = -cosα C1iF-0U  
~05gDdo26  
　　tanA= sinA/cosA =.911M  
As>l}&5l*  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =t vyx,[%  
Kug{#zN3Y9  
　　tan（π/2－α）＝cotα 'm?odCP  
*Vx}B~tR  
　　tan（π－α）＝－tanα kX[Y/oa  
WY>!Pype  
　　tan（π＋α）＝tanα 8 4UIta  
s2'hvKr  
万能公式 6mM8%6o,p  
^,zu Vj9  
　　 EMY L]'  
Z=[D&n==  
其它公式 C`!=LQd  
"jeHl_  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 <d.+f,zw  
8KN7;>  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 5&9/W0e KO  
XX/%mB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 LUR\Z3C1r,  
p]dSt*GZ  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ae&"kr  
DEu Y  
　　对于任意非直角三角形,总有 MZ!e"l  
}3pp$lbR  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC CHT?Vw%h~  
t:'gg -  
　　证: n&VkZDIFAP  
Z5:L+'?  
　　A+B=π-C '>\YV0+v{  
'\ C  
　　tan(A+B)=tan(π-C)  wr]2K  
GzlNcCj  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) je3tok{tB  
S&F%G ')5  
　　整理可得 mp @9SSH  
;# Ydf>x,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^_I,BB  
 -u%$AF  
　　得证 bQkbZ(^ Q  
'=f8O]{  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 O["o .3  
~dT/s</g  
其他非重点三角函数 MQY8JMnk\  
d.E4^7x  
　　csc(a) = 1/sin(a) nm8q0$qF  
E+Ps 7mH  
　　sec(a) = 1/cos(a) 7%X@(  
+-m%GLP!  
　　 e;sTRO!  
4t!:</{`  
双曲函数 1nE\ OL  
Gj\TLvr;T_  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 3>L\_k  
08zMhwUm  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 D{eHcu8"l  
km&go8+  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) OB&| 0Ew  
2/t![ cA=  
　　公式一： J% _&F}fY2  
TSGXDu3  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： v$\FNPe0U  
Wo9]lE>c  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 5cjB a:!|  
L0< 0Xl$  
　　cos（2kπ＋α）= cosα -wzl.~O|  
}2e2Zaz  
　　tan（kπ＋α）= tanα zdz-qt l|  
RY^@Q/D+,q  
　　cot（kπ＋α）= cotα w& y9pg  
_=Lss!\  
　　公式二： lFtgo0aA  
DFD !'e5d  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [e_-35g E  
't[hk_R"r  
　　sin（π＋α）= -sinα OSk";  
9Q`Pm0c&  
　　cos（π＋α）= -cosα S\8!}* 2  
G _+!r  
　　tan（π＋α）= tanα V /f0GM  
L9PXU0F#t  
　　cot（π＋α）= cotα %@Dbg5  
Rztyg -  
　　公式三： C3Fn?NK  
agTc%KjHV  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： )NRI0_  
5Vy@J{  
　　sin（-α）= -sinα '5A$k# 0  
A-OZ9Q  
　　cos（-α）= cosα -mI)^Uw  
YFn\ .  
　　tan（-α）= -tanα Ez_D#,<,r\  
J%ui| 36  
　　cot（-α）= -cotα ';|s`  
r$I9;Gr$  
　　公式四： =0-$=X5J*s  
o`t'&j .  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Yj2n^p-![P  
kkh:~9)  
　　sin（π-α）= sinα MCk x,qGG  
aK*N1yQ5y  
　　cos（π-α）= -cosα @M* L#%)y  
]PTE[  
　　tan（π-α）= -tanα nn\ 8b  
I9d-1<BZE  
　　cot（π-α）= -cotα T'v|Vs*S)  
*`A[QK!$  
　　公式五： CV/2J4_  
xHTI!-`#  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ib|    
K$YIld2R  
　　sin（2π-α）= -sinα R|'E+M=C  
:+eyMAiT  
　　cos（2π-α）= cosα P`?V4"y$m  
i!p{EJG  
　　tan（2π-α）= -tanα dW_d=9oH  
#fYieHyP~,  
　　cot（2π-α）= -cotα !^?]S:Wp!  
8 oHPY?JnD  
　　公式六： 3.J[Ew3F  
GSh3hE2  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： )O\.uXb*#  
 rC0Dit7  
　　sin（π/2+α）= cosα &o4"&'x  
H;7wi' W  
　　cos（π/2+α）= -sinα *|VnKI  
dpzR=?@K  
　　tan（π/2+α）= -cotα Z QKhs[  
v.W5*6.b+Q  
　　cot（π/2+α）= -tanα  R L3tq  
Y_+|m2TW  
　　sin（π/2-α）= cosα "$|<,z- ;  
Vz4Ue_  
　　cos（π/2-α）= sinα .- xh9]Z  
ChC$5  
　　tan（π/2-α）= cotα 7hvb<M  
)ts~Rx/  
　　cot（π/2-α）= tanα +cFw$?L#?  
M6xs/G9i  
　　sin（3π/2+α）= -cosα I:R|g1Ez  
a3S*#  
　　cos（3π/2+α）= sinα ^PZ"87  
Y04"f  
　　tan（3π/2+α）= -cotα MVJ%xbN  
|J!%B" &A/  
　　cot（3π/2+α）= -tanα LM-^=Q~  
;q9j!W,qA  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ]V}&%`6yh#  
,J ! AkZ-  
　　cos（3π/2-α）= -sinα fPLlO:n  
wUR*  
　　tan（3π/2-α）= cotα HW*wbz>5}l  
=U7\m_sW  
　　cot（3π/2-α）= tanα \_=Z;i  
LLq3u D/rZ  
　　(以上k∈Z) !Mz:RYv)  
7+t?P!geF  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 z p!f M  
g9.sS$qp  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ACLX^HY)  
E\v?Uy8_  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } M 3V 8$H  
mr/3<^1  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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