日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 _@gLN+q   
U@56m'  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. s-;{OJCu  
f%#{w46.'  
　　1、三角函数本质： )SvoVj&g  
[}o-1>/ K  
　　三角函数的本质来源于定义 QrJ{^'9  
Q!:6SUh,  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 xz+ 1>dE  
x\pr,5->3  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 _3Hrhov  
PF7 BpfC\  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： k}("z"S  
Y u\N  
　　推导： \M bc,?r  
)f.h-x9+iW  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 >w~~^CJj>  
/WOVtEe  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) g};ecEXSf  
nd \i i  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) PY/@M3_1  
!nQBjDBp4  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 709 W54  
W Q'S9"Do  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） S*0 hl^n<s  
00s,/[*"f@  
　　[1] =N4U )dC8  
fj ih(%)  
　　两角和公式 R-pdQtZ  
fFp_j|?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB -c. $<aa3`  
!}"@F_/F  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  qjiOt-  
'l$m\KO  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB A/W,q0F  
NJlj/Z[^  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 1"G? Mr2U#  
ZI&6=4hb  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) b B1;*Z  
I]iP`iYg  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) v#<- YTSC  
MC ol  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4O@yUzR~6  
fJ84.|uZ|  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Th*:)=!?  
\\m'h[M  
倍角公式 yc2<_9 0  
)`3`9  
　　Sin2A=2SinA•CosA u/4d Ek5Z  
(?{o2r8O  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 A7/wBg\9m  
p#+L2ZVC  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ogcZ=~^h  
  8]<  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 2O~9Vu!SJV  
DK#M?RE  
三倍角公式 5 #M3JlNB  
 vFr3Lx  
　　 ;#%PN'  
98_A<@c  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) @paK^?1y  
<g[3 i,  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ,@QzJ)Z  
Cb4B"[ 9$  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) !x-R ?[Rp  
i X.}TPTj  
三倍角公式推导 P9I~k>={  
6' "M%bt  
　　sin3a aMu{tV+ <o  
k.=J$*KY  
　　=sin(2a+a) w|1 Zs@  
T9{_&U=D  
　　=sin2acosa+cos2asina J4&/ qi$f!  
POZUBlB  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina AF^~v[.9?  
V:&TYKV'./  
　　=3sina-4sin³a 5lK>)W7r  
2@.~2 ( ]  
　　cos3a _P*b`9tQM  
l*kSHx%a0  
　　=cos(2a+a) 8+ v2?AaE  
0djo|8y*:  
　　=cos2acosa-sin2asina T$*_]I]xl  
iqt-;@bN  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa "q@q V4f  
re8E% ~Q  
　　=4cos³a-3cosa ^j..+`J  
 87"F1k  
　　sin3a=3sina-4sin³a "45mBS_  
lTM2-&P.$  
　　=4sina(3/4-sin²a) c^1Kwt`T  
0z^hwgU  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] q#6  
@9fHg"^  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) r'F\  
{w+AQ:  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) /LEq7q  
Qv)))t.}  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [Ox)>[GA=  
v((?B  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ~;J2c\!}/I  
S7oh.  
　　cos3a=4cos³a-3cosa n6F-a{a$  
7Y[wu,|  
　　=4cosa(cos²a-3/4) iOL8iX~  
5b<1kVX  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] :4k0@0qX  
PeF$')y(  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) n,*u8y- <  
ncip]N4u;  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) |Z~JRTd  
/(t&)  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} lpT0Xe4[  
6HK ~~  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) h>z~z/i*z  
&8qD@;@8%  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 4X[/tZi  
$Iqk8C<JG  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] `sHjW~ v =  
VC @ ^ RL"  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) MuTve'AO  
I.ebW^k{  
　　上述两式相比可得 1529Ey'j)  
/Beruj  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) '3T%Fl  
'Sz`-.!  
半角公式 6Yy= T>Y &  
Nk2n ,B2   
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); v60v>SW  
2:?NYzSi7j  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Yg8e]K  
:|tt*k^hd  
和差化积 ux5?mUW  
C( Zz?42  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] S]nr+sX]Od  
:reo9DVP  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] f96JhIH<H  
FE/}=at  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #azQ XJ  
+`87<kx#  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] CzLWAUWJ  
6%.>`1u~  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) mAN^f)@9  
( I 5jsI  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) .R;=yU|{  
yR'E:#/;rJ  
积化和差 o ={nXkyk  
?:H&:d  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] h3i^hBj9  
XlCmB!n6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] '&F;\T.n  
:MBdy  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] = 0Gg |  
1uF@.<m]D  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] AEaaCNReHm  
w2;6@w=o"  
诱导公式 + ";;^f !  
|I#>:a  
　　sin(-α) = -sinα h }~4i  
' $;:_4  
　　cos(-α) = cosα s=Ym;8#  
1Sv(:T}]  
　　sin(π/2-α) = cosα F#usWbV1:X  
8ndtufl;  
　　cos(π/2-α) = sinα X%WRA=A/  
B6m2^T  
　　sin(π/2+α) = cosα n"q;E[b  
$+2R3OVQ  
　　cos(π/2+α) = -sinα 4A >#8  
W{('(9  
　　sin(π-α) = sinα ^nI<o,  
:7*^&Y3O  
　　cos(π-α) = -cosα shSv * (:  
M#=N".]KW  
　　sin(π+α) = -sinα m*A>' t  
OQZgfY' .  
　　cos(π+α) = -cosα =E+U0.1}  
\C 175  
　　tanA= sinA/cosA 7vUft  
739v:N15l  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα %?wtxI=L g  
XgaUyBi0  
　　tan（π/2－α）＝cotα -gnwn$  
VTou, h.T  
　　tan（π－α）＝－tanα ~Mq5f0 d  
J%fta-DC82  
　　tan（π＋α）＝tanα iO}OHMn'M  
l@.f`p^O  
万能公式 !Qt*(I)F  
|_xS;s\]dQ  
　　 TYj~PCXQWQ  
Qem ~-Wa#  
其它公式 *N]A`eX`  
]m9/J"X  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 daw6B}qT  
] $O`Ok  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 CR'}B{Z  
j{r"L">  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 4;}-pS`  
RGE1U!^}  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,f!Hcgp  
; * 6o1  
　　对于任意非直角三角形,总有 nvzUD F  
Tc+m/gr ~Z  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC aL%HjI  
>Cu@fch  
　　证: K5A?>gY;  
Nw}O2xT3,E  
　　A+B=π-C Hw0",zc  
y*N{Iq2#  
　　tan(A+B)=tan(π-C) eWCs.bW  
:=#O'irL  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) U3& _?  
@) F6=q  
　　整理可得 {^5rLv  
UupJ;O`  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8UR21.xu  
u^ x|K6& W  
　　得证 06S2SXfw]  
z;&ah_@v;  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ~HT;K}l'h:  
2"<ph  3  
其他非重点三角函数 zF~J&  
M= KFA[:A  
　　csc(a) = 1/sin(a) )M1.i V  
wUC(.cbH  
　　sec(a) = 1/cos(a) s4`&8rzh  
iT)*'2F  
　　 ADScW\2 F  
FUx;tBRyn  
双曲函数 5yRN>A  
whU-4'F  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 \b}r^ ql&<  
YAE98x;{X|  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ycw ^>  
,/(9M.v  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) } m&11.F2p  
z`?, IkG,X  
　　公式一： J]m;"Hu  
wu#9QXFou  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： [`|1*/DaT  
[5n]=E:  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Q``W+j;  
eYbH3:<Y  
　　cos（2kπ＋α）= cosα A1Y\Fa2G  
 1$c+bq3  
　　tan（kπ＋α）= tanα T}gY+n  
Nl| ~9{  
　　cot（kπ＋α）= cotα [<$BQp"C  
I"[aPU  
　　公式二： 5>/?A#>u  
W>1(0z  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： lqXnccC  
q]I.dr}  
　　sin（π＋α）= -sinα 58m}`^m  
S %{h'fn=  
　　cos（π＋α）= -cosα ~t`$(r4m  
)X30=R?cQ  
　　tan（π＋α）= tanα d7HogOn5  
jMK82.T<|  
　　cot（π＋α）= cotα G&^j Z~)x  
-;pD9,wc>  
　　公式三： q:&5R B(<  
FzY6)-Nx  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： >h/r"An(  
=zt Y&FL0  
　　sin（-α）= -sinα  #' y~L  
~RFM_D28"  
　　cos（-α）= cosα gpF8No|z@  
MoNYK6B{VK  
　　tan（-α）= -tanα |L`X@w  
R 1*I\vX  
　　cot（-α）= -cotα @`C2P~>d  
Y|+`IR8B  
　　公式四： <(9,x6vv1L  
9a^%pgcl  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： s0BU5=SI  
ar;',e@  
　　sin（π-α）= sinα 8QW145>b  
PR8/WjA  
　　cos（π-α）= -cosα ) YcY~Ng  
m-c NqB7Y  
　　tan（π-α）= -tanα 0jvv"N6'  
$l8H8X P f  
　　cot（π-α）= -cotα Fs"`;p|  
%0e4w|M%  
　　公式五： :WR+oc7%>  
B[OzzG\.'  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： .),vk  
fl[6v4L>  
　　sin（2π-α）= -sinα 3^>]t 6@  
M[JZ2Qd  
　　cos（2π-α）= cosα 2z QJj6#K;  
`D}J1Pb  
　　tan（2π-α）= -tanα n,A{Z  
^a&]Hh "}  
　　cot（2π-α）= -cotα :>g6ijh  
S *;{+Td  
　　公式六： NlcNb7+  
eO[Y0&wB  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： #wR) (  
vlP2&R[  
　　sin（π/2+α）= cosα +WUBt'  
a?p?N?+6D  
　　cos（π/2+α）= -sinα X+u[A z  
A0*L\Nhc  
　　tan（π/2+α）= -cotα 6tm%en<  
L+ }92[,  
　　cot（π/2+α）= -tanα 'SS9Jdv  
0r7yHn?wO  
　　sin（π/2-α）= cosα D,vS-#(S  
{_kF9nJ  
　　cos（π/2-α）= sinα YK*]JYaBI  
y_fSLV8Fq  
　　tan（π/2-α）= cotα `Z(=0$fZ  
=+pPj|(  
　　cot（π/2-α）= tanα REL8ABsX  
c"N?o0fW&E  
　　sin（3π/2+α）= -cosα b./JUE|  
y* O HfG9  
　　cos（3π/2+α）= sinα 40Xiwt4  
<3`8g$?u  
　　tan（3π/2+α）= -cotα >g{7 0UV  
} R6;h$  
　　cot（3π/2+α）= -tanα s-8o\VDr  
Y r(iL\ }X  
　　sin（3π/2-α）= -cosα l N(~r*  
7DN$Gvn  
　　cos（3π/2-α）= -sinα _`e5&g  
U-M_oRY'  
　　tan（3π/2-α）= cotα 6D)8>IP6  
vs`2#"1  
　　cot（3π/2-α）= tanα {-%V^Gh  
E.RA$WcB  
　　(以上k∈Z) 1fi~=qwJ  
)g_p wly  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 hbd X(K`  
>c0BfEA!V  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = } }IlYr  
0) GDg2^  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } )5w2~\MN  
C*uD<.!  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15501) |  收藏